Hàm số

*
(hay trong không khí 2 chiều
*
) xác định trong miền
*
được bao vày mặt
*
, tất cả đạo hàm cấp cho 1 liên tục trong miền
*
với đạo hàm cấp 2 vào miền
*
. Hàm số
*
điện thoại tư vấn là hàm cân bằng trong miền
*
nếu
*
thõa mãn phương trình Laplace . Tức :
*
.theo cách làm Green dạng 2 , với
*
là 2 hàm số khẳng định trong miền
*
.thì
*
.(1)

giã sử

*
với
*
: khoảng cách giữa 2 điểm
*
với
*
. Thõa mãn phương trình Laplace lúc
*
.

Bạn đang xem: Hàm điều hòa là gì

hàm số

*
với
*
khẳng định và tiếp tục tại đều điểm
*
.bao điểm
*
bởi hình mong
*
bán kính
*
được bao bởi vì mặt
*
(hình vẽ)

áp dụng bí quyết Green (1) đến miền

*
:
*
. (2)

có :

*

nên :

*
với
*
quý giá trung bình hàm số
*
cùng bề mặt
*
.

Xem thêm: Cách Tắt Enable Editing Trong Excel, Office, Cách Tắt, Bật Enable Editing Khi Mở Word, Excel

tương tự :

*

với

*
cực hiếm trung bình đạo hàm của hàm số
*
trên hình cầu
*

vậy đẳng thức (2) viết lại là :

*
(3)

do

*
phải (3) tương đương với :

*
(4)

khi

*
0" class="latex" /> :
*
0} u^* = u(M_0)" class="latex" /> bởi vì hàm số
*
thường xuyên trong hình cầu
*

*
0} 4 \pi \varepsilon (\frac\partial u\partial n)^* = 0" class="latex" /> vày hàm số
*
bao gồm đạo hàm cấp cho 1 tiếp tục trong miền
*

và :

*

thu được dạng tích phân cách làm Green cơ bạn dạng (quan trọng):

*
(5)

với

*
.

nếu điểm

*
không thuộc miền
*
.thì hàm số
*
tiếp tục và là hàm điều hòa tại phần đa điểm
*
bắt buộc giá trị phía trái của (5) vẫn
*

tổng quát minh chứng được rằng :

*
(6)

với

*

chú say mê :nếu hàm số

*
trong không gian 2 chiều thì cách làm (6) gồm dạng :

*
(7)

với

*
.

chú ý đến lúc hàm số

*
là hàm cân bằng thì biểu thức tích phân cuối của (6) với (7)
*
(vì
*
)

hay : phương pháp (5) đổi thay :

*
(8)

đây là cách làm cơ bản của hàm cân bằng . Từ phương pháp thì giá trị hàm số

*
trên điểm
*
rất có thể biểu diễn được qua quý hiếm của hàm số cùng bề mặt
*
với đạo hàm của nó theo hướng vecto trực chuẩn chỉnh của khía cạnh
*

chú thích: cũng như nếu xét trong mặt phẳng

*
thì công thức (8) viết lại là :
*